定义

笛卡尔树是一种二叉树，每一个结点由一个键值二元组 $(k,v)$ 构成。

性质

  1. $k$ 满足 BST 的性质
  2. $v$ 满足 min-heap 的性质。
  3. 如果笛卡尔树的 $k,v$ 值确定，且 $k$ 互不相同，$v$ 互不相同，那么这个笛卡尔树的结构是唯一的。

img

$O(n) 建树$

给定一个数组，可以建出对应的笛卡尔树，将数组的值作为 $v$，数组的index作为 $k$，建树的思想是：

每次取当前数组中最小的那个元素，将它左边作为左子树，右边作为右子树，然后递归建树。

通过单调栈维护从根出发的向右的链（递增栈），在加入一个新元素 $x$ 前（弹出过程已经完成）：

  1. 如果之前有弹出元素，那么最后一个弹出的元素作为 $x$ 的左child。
  2. 如果此时栈上有元素，那么栈顶的元素的右 $child$ 是 $x$。

应用

笛卡尔树可以用于 $O(n)$ 或者 $O(n\log n)$ 建BST，见 例2

例1 洛谷P5854【模板】笛卡尔树

题意

给定一个 $1$ 到 $n$ 的permutation，构建出笛卡尔树。

代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e7+5;

struct Node {
    int lc, rc, p, idx;
} a[maxn];
int n;
int main() {
    fastio;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i].p;
        a[i].idx = i;
    }
    stack<pii> st;  // {val, idx}，idx作为树Node的index
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int last = 0;
        while (st.size() && st.top().first > a[i].p) last = st.top().second, st.pop();
        if (last) a[i].lc = last;
        if (st.size()) a[st.top().second].rc = a[i].idx;
        st.push({a[i].p, i});
    }

    ll ans1 = 0, ans2 = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans1 ^= ((ll)i * (a[i].lc + 1));
        ans2 ^= ((ll)i * (a[i].rc + 1));
    }
    cout << ans1 << " " << ans2 << "\n";
}

例2 洛谷P1377 [TJOI2011] 树的序

题意

给定一个 $1$ 到 $n$ 的permutation，代表按照这个顺序将这些元素插入到一个 BST 中。

求所有能够生成同样BST的所有permutation中，字典序最小的一个。

其中，$n \leq 10^5$。

题解

很容易可以想到一个思路：按照给定的序列，把BST建出来，然后求这个BST的pre-order就是字典序最小的了（因为先访问左边，再访问右边，并且pre-order保证了结构一致，所以pre-order即是所求）。

现在问题来了：根据这个序列建BST，最坏情况下是 $O(n^2)$ 的，怎么加速？

注意到，根据一个序列建BST，得到的BST满足两个性质：

  1. 每个节点的 index 满足小根堆的性质：因为在BST中，一个 $u$ 的index一定比它的 parent 的index更加靠后。
  2. 每个节点的值 (value) 满足BST的性质：因为这就是一个BST。

回忆笛卡尔树的性质：

  1. 每个节点的 index 满足BST性质。
  2. 每个节点的 value 满足小根堆性质。

恰好是反过来的！

于是我们将原序列的 index 与 value 反过来，然后建立笛卡尔树，建好以后再反一次，就得到了想要的BST了。

• 由于这个题给定的 value 是 $1$ 到 $n$ 的排序，所以可以直接 $O(n)$ 反过来，否则需要 $O(n\log n)$。

• BST的根就是栈最底下的那个节点（因为我们维护的是一个从根开始向右的链）。

代码 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+5;

struct Node {
    int lc, rc, p, idx;
} a[maxn];

int idx_to_val[maxn], val_to_idx[maxn];
int n;
void dfs(int u) {
    cout << idx_to_val[a[u].p] << " ";
    if (a[u].lc) dfs(a[u].lc);
    if (a[u].rc) dfs(a[u].rc);
}
int main() {
    fastio;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int val; cin >> val;
        idx_to_val[i] = val;
        val_to_idx[val] = i;
        a[i].idx = i;
        a[val].p = i;
    }

    stack<pii> st;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int last = 0;
        while (st.size() && st.top().first > a[i].p) last = st.top().second, st.pop();
        if (last) a[i].lc = last;
        if (st.size()) a[st.top().second].rc = a[i].idx;
        st.push({a[i].p, i});
    }

    int rt = -1;
    while (st.size()) rt = st.top().second, st.pop();
    dfs(rt);
    cout << "\n";
}